夫一銅錢,有正、反兩面者,其正面為上之概率,若曰 $p$
,則拋之 $n$
次,正面朝上者 $k$
。其法曰:
$$ P_k = {n \choose k}p^k (1-p)^{n - k} $$
是所謂雙項分布者也,西人謂之 Binomial Distribution,吾曾言其法 。
今則反其道推之,既知拋 $n$
次而正面朝上者 $k$
,問此銅錢拋一次正面朝上之概率 $p$
為何?
倘求一數,$p$
可取 $\frac{k}{n}$
,然未為必然也。且若余欲得一機率分布,非一定值,則當用貝葉斯之法
,曰:
$$ P(p|k,n) = \frac{P(p) P(k,n|p)}{P(k,n)} \propto P(p) P(k,n|p) $$
吾於銅錢初無所知,故先驗機率 $P(p)$
視為均勻分布,西人曰 Uniform Distribution。謂之恒常,取 1 可也。似然機率 $P(k,n|p)$
,乃雙項分布是矣,曰:
$$ P(p|k,n) \propto 1 \cdot {n \choose k}p^k (1-p)^{n - k} $$
夫 $1$
與 ${n \choose k}$
均為恒常,棄之,可得:
$$ P(p|k,n) \propto p^k (1-p)^{n - k} $$
此即 Beta 分布之式。若令
$$ \alpha = k + 1, \, \beta = n - k + 1 $$
此設之,為使 $k=0$
或 $k=n$
時,分布仍得定義,且有意義耳。
則機率分布式可化作:
$$ f(p) = P(p|\alpha, \beta) \propto p^{(\alpha - 1)} (1-p)^{(\beta - 1)} $$
然欲其為真正之分布,需使其於 $[0,1]$
區間上積分歸一,曰:
$$ \int_0^1 f(p) \, dp = 1 $$
為此,須引歸一常數 $\operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$
,令:
$$ f(p) = P(p|\alpha, \beta) = \frac{p^{(\alpha - 1)} (1-p)^{(\beta - 1)}}{\operatorname{Beta}(\alpha, \beta)} $$
夫 $\operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$
者:
$$ \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) = \int_0^1 p^{(\alpha - 1)} (1-p)^{(\beta - 1)} \, dp $$
歐拉 者,西人數學巨擘,其得精妙之法,曰:
$$ \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} $$
$\Gamma(x)$
乃 Gamma 函數
,為階乘之推廣。
綜上,Beta 分布之全貌得焉:
$$ f(p|\alpha ,\beta) = {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1} $$
或作:
$$ f(p|\alpha ,\beta) = {\frac {1}{\operatorname{Beta} (\alpha ,\beta )}}p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1} $$
畫之:
Show Code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta
# Create the x values
x = np.linspace(0, 1, 1000)
# Create different beta distributions
params = [
(0.5, 0.5, 'red', r'$\alpha = \beta = 0.5$'),
(5, 1, 'blue', r'$\alpha = 5, \beta = 1$'),
(1, 1, 'green', r'$\alpha = 1, \beta = 1$'),
(2, 2, 'purple', r'$\alpha = 2, \beta = 2$'),
(2, 5, 'orange', r'$\alpha = 2, \beta = 5$')
]
# Create the plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
# Plot each distribution
for alpha, beta_param, color, label in params:
plt.plot(x, beta.pdf(x, alpha, beta_param), color=color, label=label)
# Customize the plot
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('PDF')
plt.ylim(0, 2.5)
plt.legend()
plt.title('Beta Distribution PDF for Different Parameters')
# Show the plot
plt.show()
最后一次修改于 2024-11-28