关于自然指数的知识

指数函数的导数 #

$2^x$ 的导数是什么？

我们这样算：

$$\lim_{dx \to 0} \frac{2^{x + dx} - 2^x}{dx} = \frac{2^{dx} - 1}{dx} \cdot 2^x$$

我们带入一个非常小的 $dx$ 看看：

Copy codedef derivative_const(dx):
    return (2**dx - 1)/dx 

derivative_const(0.001), derivative_const(0.0001), derivative_const(0.0000001)

$$\lim_{dx \to 0} \frac{8^{x + dx} - 8^x}{dx} = \frac{8^{dx} - 1}{dx} \cdot 8^x$$

Copy code
def derivative_const(dx):
    return (8**dx - 1)/dx 

derivative_const(0.001), derivative_const(0.0001), derivative_const(0.0000001)

$$\lim_{dx \to 0} \frac{e^{dx} - 1}{dx} = 1$$

所以 $e^x$ 的导数为其本身 $e^x$。

我们用 $e$ 来表示 $2^x$ 的导数：

因为 $e^{ln(2)} = 2$，所以

$$2^x = e^{ln(2)\cdot x}$$

根据 Chain rule，我们知道 $y = e^{cx}$ 的导数为 $e^{cx}\cdot c$

所以

$2^x = e^{ln(2)\cdot x}$ 的导数为

$$ln(2) \cdot e^{ln(2)\cdot x} = ln(2)\cdot 2^x$$

推而广之，我们知道 $y = c^x$ 的导数为 $ln(c)\cdot c^x$

重新看数字 e 的定义 #

数字 e 可以定义为满足以下条件的数： $$\lim_{{dx \to 0}} \frac{{e^{dx} - 1}}{{dx}} = 1$$

可以重写为 $$\lim_{{dx \to 0}} e^{dx} = 1 + dx$$

因此 $$e^{dx \cdot \frac{1}{{dx}}} = (1 + dx)^{\frac{1}{{dx}}}$$

所以按定义 $$e = \lim_{{dx \to 0}} (1 + dx)^{\frac{1}{{dx}}}$$

类比地，对于任意正整数 ( n )，我们有

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \tag{1}$$

或者

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} = e \tag{2}$$

对于任意实数 ( x )，我们有

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + n\right)^\frac{x}{n} = e^x$$

若 $\frac{x}{n} = t$

有

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{x}{t}\right)^t = e^x$$

把 $t$ 用 $n$ 表示可能更加易于记忆：

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x \tag{3}$$

最后一次修改于 2025-04-26