假设检验、Z 分数、置信区间

序章

我们现在来假设一下。

你在北京（A市）上学，有个女朋友，大四快毕业的时候，你考上了新疆（(B省）的选调生，不过还好只是呆两年，两年后可以再回A市工作。女朋友拿到了一家互联网公司的offer。那么，一个世纪难题是，离这么远，要不要分手。你们相互谈心，互相觉得，两年的时间还好，也不长，而且通信这么发达，都可以每天微信视频聊天，即使异地恋应该也没问题。于是你们俩决定不分手，坚持异地恋。

好，然后你给你女朋友提出了一个要求。你说你在新疆工作很忙，微信联系的话你觉得不太方便，而且你很传统，喜欢手写的信，你就对你女朋友说：“我走后，你要每周给我写一封情书”。女朋友答应了。

喜获 A 市市长职位，惊闻女友似已变心

你们按原计划进行。你每周都能如约收到一封情书，你很开心。

很快，两年就要过去了，领导看你很棒，把你推荐给了B省的领导，领导知道你想回北京，就把你推荐给了A市的市领导，最终决定让你回去做副市长。

家人觉得你这马上要走上人生巅峰了，可是婚姻大事还没解决，就让你赶紧成婚。你也思考，是啊，和女朋友这么多年了，也该考虑婚姻大事了。你每周都能收到一封信，只是让你不爽的是，你感觉女朋友的情书一次比一次短，最后一封只有四个字：我挺好的。

这几天正好一个朋友来看你，给你八卦说经常看到你女朋友和她同事一起跑步，去健身房。你怀疑你被绿了。

你可马上是副市长的人了，你考虑终身大事的时候可是得慎重些。

你看着手里的情书，蓝瘦，香菇，但又不想轻易相信女朋友已经变心。你突然想到前几天在 Nature 上看到的一篇文章。文章作者声称，他发现人类过去、现在和未来，两个人之间的情书字数符合正态分布，标准差是250 (\(\sigma\)=250）。他还发现，这两个人如果相爱的话，虽然每次情书字数有差别，但平均的话应该是 1500 字。多了少了都不行。这个作者还因为这个发现，获得了诺贝尔“爱情学奖”。

检验

因此，你现在确定的是，女朋友这两年间写的 104 封信的字数是符合正态分布的，标准差是 250。那么，你直接算出来这 104 封信每封信的平均字数，如果平均数正好等于 1500 字的话，说明女朋友还是爱你的。然而，很不凑巧的是，有几天 B 省太冷了，你晚上为了取暖就把几封信（随机地）扔到火堆里取暖（女朋友知道了直接就开除你了），还剩下 25 封情书。所以现在你没办法通过计算总体（104 封情书）的平均字数来断定你女朋友是不是还爱着你了。

你数了数，这25封信的字数分别为：

773 1227 1188 790 1413 1146 1202 776 1400 1240 937 902 1421 

1291 1569 1368 939 1363 1331 1088 889 772 683 1374 1535

这里说一下，其实这才常见的。大多数情况下我们都不可能获得总体的全部，只能通过抽样来推断总体。

这时候，你突然想到了你了大二的时候学过统计（虽然学得啥都已经送给老师了）。

你开始琢磨了：

你知道你女朋友如果还爱你的话，这 104 封信应该符合 X \(\sim\) N (1500, 250)，也就是下面这个分布：

Mean <- 1500
Sd <- 250

# X grid for non-standard normal distribution
x <- seq(-3, 3, length = 100) * Sd + Mean 

# Density function
f <- dnorm(x, Mean, Sd)

plot(x, f, type = "l", lwd = 2, col = "blue", ylab = "", xlab = "Weight")
abline(v = Mean) # Vertical line on the mean