指数函数的导数 #
$2^x$ 的导数是什么？
我们这样算：
$$\lim_{dx \to 0} \frac{2^{x + dx} - 2^x}{dx} = \frac{2^{dx} - 1}{dx} \cdot 2^x$$
我们带入一个非常小的 $dx$ 看看：
def derivative_const(dx):
return (2**dx - 1)/dx
derivative_const(0.001), derivative_const(0.0001), derivative_const(0.0000001)
(0.6933874625807412, 0.6931712037649973, 0.6931472040783149)
我们看到，当 $dx$ 越来越小， $\frac{2^{dx} - 1}{dx}$ 越来越趋近于一个数。同样的情况也发生在：
$$\lim_{dx \to 0} \frac{8^{x + dx} - 8^x}{dx} = \frac{8^{dx} - 1}{dx} \cdot 8^x$$
def derivative_const(dx):
return (8**dx - 1)/dx
derivative_const(0.001), derivative_const(0.0001), derivative_const(0.0000001)
(2.0816050796328422, 2.0796577605231015, 2.079441758784384)
我们定义 $e$:
$$\lim_{dx \to 0} \frac{e^{dx} - 1}{dx} = 1$$
所以 $e^x$ 的导数为其本身 $e^x$。
我们用 $e$ 来表示 $2^x$ 的导数：
因为 $e^{ln(2)} = 2$，所以
$$2^x = e^{ln(2)\cdot x}$$
根据 Chain rule，我们知道 $y = e^{cx}$ 的导数为 $e^{cx}\cdot c$
所以
$2^x = e^{ln(2)\cdot x}$ 的导数为
$$ln(2) \cdot e^{ln(2)\cdot x} = ln(2)\cdot 2^x$$
推而广之，我们知道 $y = c^x$ 的导数为 $ln(c)\cdot c^x$
重新看数字 e 的定义 #
数字 e 可以定义为满足以下条件的数：
$$ \lim_{{dx \to 0}} \frac{{e^{dx} - 1}}{{dx}} = 1 $$
可以重写为
$$ \lim_{{dx \to 0}} e^{dx} = 1 + dx $$
因此
$$ e^{dx \cdot \frac{1}{{dx}}} = (1 + dx)^{\frac{1}{{dx}}} $$
所以按定义
$$ e = \lim_{{dx \to 0}} (1 + dx)^{\frac{1}{{dx}}} $$
类比地，对于任意正整数 ( n )，我们有
$$ \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \tag{1} $$
或者
$$ \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} = e \tag{2} $$
对于任意实数 ( x )，我们有
$$ \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + n\right)^\frac{x}{n} = e^x $$
若 $\frac{x}{n} = t$
有
$$ \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{x}{t}\right)^t = e^x $$
把 $t$ 用 $n$ 表示可能更加易于记忆：
$$ \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x \tag{3} $$
最后一次修改于 2024-03-23